Στόχοι Μαθήματος: Σκοπός του μαθήματος Προχωρημένα Μαθηματικά Ι είναι η αφομοίωση από τους φοιτητές των βασικών εννοιών του απειροστικού και ολοκληρωτικού λογισμού πραγματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής και η εφαρμογή τους σε προβλήματα της επιστήμης της πληροφορικής και του μηχανικού υπολογιστών.
Μαθησιακά Αποτελέσματα: Η οικοδόμηση καλού γενικού υπόβαθρου των φοιτητών ώστε αυτοί στη συνέχεια να μπορέσουν να εμβαθύνουν στα θέματα της επιστήμης της πληροφορικής και του μηχανικού υπολογιστών.
Περιεχόμενο Μαθήματος: (1) Συναρτήσεις μιας μεταβλητής: Εισαγωγικές έννοιες Σύνολα, Διαστήματα, Ένωση και τομή συνόλων. Ορισμός συνάρτησης. Πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Πράξεις πραγματικών συναρτήσεων. Σύνθεση πραγματικών συναρτήσεων και πεδίο ορισμού. Σύνθετες συναρτήσεις. Αντίστροφές συναρτήσεις και πεδίο ορισμού. (2) Όρια: Ορισμός. Πλευρικά όρια. Βασικά θεωρήματα. Άπειρα όρια. Όρια συνάρτησης όταν το χ τείνει στο . Όρια βασικών συναρτήσεων. Ιδιότητες. (3) Συνέχεια συναρτήσεων: Ορισμός. Συνέχεια συνάρτησης σε ανοιχτό και κλειστό διάστημα. Είδη ασυνέχειας. Ιδιότητες και θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων. Όριο και Συνέχεια σύνθεσης συναρτήσεων. (4) Παραγώγιση: Ορισμός. Παραγώγου. Παράγωγοι Βασικών συναρτήσεων. Βασικοί Κανόνες Παραγώγισης. Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης. Παράγωγοι Πεπλεγμένων Συναρτήσεων. Παράγωγος συναρτήσεων σε παραμετρική μορφή. (5) Εφαρμογές Παραγώγισης: Μονοτονία Συναρτήσεως. Τοπικά Ακρότατα. Απόλυτα ακρότατα. Κυρτές και Κοίλες Συναρτήσεις. Σημεία Καμπής. Κανόνες de l'Hospital. (6) Ολοκληρώματα : Αόριστο ολοκλήρωμα. Βασικοί τύποι ολοκληρωμάτων. Ιδιότητες του Αορίστου ολοκληρώματος. Τεχνικές ολοκλήρωσης: Μέθοδος της αντικατάστασης. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων - Mερικά κλάσματα. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες. (7) Ορισμένο ολοκλήρωμα και εφαρμογές : Υπολογισμοί εμβαδών. Υπολογισμοί όγκων εκ περιστροφής. (8) Μιγαδικοί αριθμοί: Ορισμοί. Σχεδιάγραμμα του Argand. Πράξεις Μιγαδικών αριθμών σε Καρτεσιανή μορφή, Πολική και Εκθετική μορφή. Μετατροπή μιγαδικών αριθμών από μια μορφή σε άλλη. Αλγεβρικές πράξεις μιγαδικών αριθμών. (9) Διαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης: Εξισώσεις Χωριζόμενων Μεταβλητών. Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις. (10) Η έννοια της σειράς. Σύγκλιση σειράς. Κριτήρια Σύγκλισης . Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor. Σύγκλιση Δειναμοσειρών. Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Δειναμοσειρών.