Στόχοι Μαθήματος

Σκοπός του μαθήματος Προχωρημένα Μαθηματικά Ι είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τις βασικές έννοιες του απειροστικού και ολοκληρωτικού λογισμού πραγματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής και η εφαρμογή τους σε προβλήματα της επιστήμης του μηχανικού.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Το μάθημα αποσκοπεί στην οικοδόμηση του γενικού υπόβαθρου των φοιτητών ώστε αυτοί στη συνέχεια να μπορέσουν να εμβαθύνουν στα θέματα της επιστήμης του μηχανικού.

Περιεχόμενο Μαθήματος

1.Συναρτήσεις μιας μεταβλητής: Εισαγωγικές έννοιες Σύνολα, Διαστήματα,  Ένωση και τομή συνόλων. Ορισμός συνάρτησης. Πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Πράξεις πραγματικών συναρτήσεων. Σύνθεση πραγματικών συναρτήσεων και πεδίο ορισμού. Σύνθετες συναρτήσεις.  Αντίστροφές συναρτήσεις και πεδίο ορισμού.

2.Όρια: Ορισμός. Πλευρικά όρια. Βασικά θεωρήματα. Άπειρα όρια. Όρια συνάρτησης όταν το χ τείνει στο +∞ . Όρια βασικών συναρτήσεων. Ιδιότητες

3. Συνέχεια συναρτήσεων: Ορισμός. Συνέχεια συνάρτησης σε ανοιχτό και κλειστό διάστημα. Είδη ασυνέχειας. Ιδιότητες και θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων. Όριο και Συνέχεια σύνθεσης συναρτήσεων.

4. Παραγώγιση: Ορισμός. Παραγώγου. Παράγωγοι Βασικών συναρτήσεων. Βασικοί Κανόνες Παραγώγισης. Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης. Παράγωγοι Πεπλεγμένων Συναρτήσεων. Παράγωγος συναρτήσεων σε παραμετρική μορφή.

5.  Εφαρμογές Παραγώγισης : Μονοτονία  Συναρτήσεως. Τοπικά Ακρότατα. Απόλυτα ακρότατα. Κυρτές και Κοίλες Συναρτήσεις. Σημεία Καμπής. Κανόνες de l'Hospital.

6.  Ολοκληρώματα : Αόριστο ολοκλήρωμα. Βασικοί τύποι ολοκληρωμάτων. Ιδιότητες του Αορίστου ολοκληρώματος. Τεχνικές ολοκλήρωσης: Μέθοδος της αντικατάστασης. Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων - Mερικά κλάσματα. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

7. Ορισμένο ολοκλήρωμα και εφαρμογές : Υπολογισμοί εμβαδών. Υπολογισμοί όγκων εκ περιστροφής.

8. Μιγαδικοί αριθμοί: Ορισμοί. Σχεδιάγραμμα του Argand. Πράξεις Μιγαδικών αριθμών σε Καρτεσιανή μορφή, Πολική και Εκθετική μορφή. Μετατροπή μιγαδικών αριθμών από μια μορφή σε άλλη. Αλγεβρικές πράξεις μιγαδικών αριθμών.

9. Διαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης: Εξισώσεις Χωριζόμενων     Μεταβλητών.  Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις.  Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις. Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις

10. Η έννοια της σειράς. Σύγκλιση σειράς. Κριτήρια Σύγκλισης . Δυναμοσειρές. Σειρές Taylor.  Σύγκλιση Δειναμοσειρών. Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Δειναμοσειρών.

EEI 103 Προχωρημένα Μαθηματικά ΙΙ

Στόχος Μαθήματος

Η κατανόηση της σημασίας και του ρόλου που διαδραματίζουν ο Απειροστικός Λογισμός και οι Διαφορικές Εξισώσεις σε όλες τις Επιστήμες και ειδικότερα στην Ηλεκτρολογική Μηχανική, τη Μηχανική Η/Υ και την Επιστήμη της Πληροφορική, καθώς και η ευχερής εκμάθηση των διάφορων τεχνικών επίλυσης τους.

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Αναμένεται ότι ο φοιτητής θα είναι σε θέση να:

1.        κατανοεί πλήρως το θεωρητικό υπόβαθρο,

2.        μεταφράζει σε μαθηματικούς όρους τους συσχετισμούς των διάφορων ποσοτήτων που μεταβάλλονται σε κάθε πρόβλημα,

3.        κατασκευάζει την αντίστοιχη Διαφορική Εξίσωση που το διέπει,

4.        διερευνά την πραγματική σημασία της λύσης,

5.        καθορίζει αν είναι αποδεκτή με βάση τους θεμελιώδεις νόμους της Φυσικής,

6.        ορίζει συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, να τις παριστάνει γραφικά, να υπολογίζει τα όρια τους και να καθορίζει αν είναι συνεχείς,

7.        υπολογίζει μερικές παραγώγους συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, και να τις εφαρμόζει για να επιλύει προβλήματα μεγιστοποίησης και ελαχιστοποίησης,

8.        υπολογίζει πολλαπλά ολοκληρώματα και να τα χρησιμοποιεί για την εύρεση εμβαδών και όγκων, τον υπολογισμό μέσης τιμής, την εύρεση ροπών, βαρύκεντρου και επιφανειακών εμβαδών.